Знакомые и незнакомые числа
Вы уже много знаете о числах. Натуральные, целые, дробные — все они умещаются в одно большое семейство, которое называется рациональные числа.
Рациональное число — это число, которое можно записать в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0.
Формула выглядит так:
К рациональным относятся:
целые числа (например, 5 — это 5/1);
конечные десятичные дроби (например, 0,75 — это 3/4);
бесконечные периодические дроби (например, 0,333… = 1/3).
Любое число, представимое в виде дроби с целым числителем и ненулевым целым знаменателем, является рациональным. Казалось бы, какие ещё числа могут быть?
Числа, не укладывающиеся в дробь
Представьте: вы измеряете диагональ квадрата со стороной 1. По теореме Пифагора она равна √2. Попробуем записать √2 обыкновенной дробью — не получится. Это число нельзя представить как m/n, сколько бы мы ни старались.
Иррациональное число — это число, которое нельзя записать в виде дроби m/n; в виде десятичной дроби записывается бесконечной непериодической дробью.
Вот как выглядит запись √2:
Цифры после запятой идут бесконечно и никогда не повторяются в одном и том же порядке. Это и есть бесконечная непериодическая десятичная дробь — десятичная дробь, у которой после запятой цифры идут бесконечно и никогда не повторяются в одном и том же порядке.
Сравните с периодической дробью 0,333… — там блок «3» повторяется. А у √2 повторяющегося блока нет.