Теория
Степень с натуральным показателем представляет произведение одинаковых множителей. Для распространения этого понятия на целые показатели вводятся нулевая и отрицательные степени. Определения выбираются так, чтобы при допустимых основаниях сохранялись основные свойства степеней. Целые показатели включают положительные числа, ноль и отрицательные числа.
Для любого a ≠ 0 принимается a⁰ = 1. Если n — натуральное число и a ≠ 0, то a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Таким образом, отрицательный показатель указывает на обратное число к соответствующей положительной степени. Он не означает, что результат обязательно отрицателен. Например, положительное основание в любой целой степени даёт положительное число.
Нуль имеет натуральные степени: 0ⁿ = 0 при n > 0. Нулевую степень нуля в рамках школьного определения не задают, а отрицательные степени нуля не существуют, поскольку потребовали бы деления на ноль. Поэтому условие a ≠ 0 является содержательной частью определения, которую нельзя опускать.
Для ненулевого основания и целых m, n выполняются свойства aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ и (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Также (ab)ⁿ = aⁿbⁿ и (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ при допустимых основаниях и знаменателях. При отрицательном показателе все основания, обращающиеся в знаменатели, должны быть ненулевыми.
Первый пример: 2⁻³ · 2⁵. По свойству произведения получается 2⁻³⁺⁵ = 2² = 4. Прямая проверка даёт (1/8) · 32 = 4. В выражении (−2)⁻³ результат другой по знаку: 1/(−2)³ = −1/8. Знак связан с отрицательным основанием и нечётным показателем, а не с минусом в показателе как таковым.
Скобки определяют основание степени. Записи (−3)² и −3² имеют разные значения: первая равна 9, вторая равна −9. Во второй записи возведение в степень выполняется раньше внешнего знака минус. То же внимание к скобкам необходимо при отрицательных показателях и при работе с дробными основаниями.