Итоговое повторение удобно строить как маршрут: взаимное положение объектов → углы и расстояния → многогранники → тела вращения → координаты и векторы.
Перед вычислением называют объект, проверяют условия формулы и приводят единицы. Чертёж помогает, но не заменяет доказательство взаимного положения.
Рабочие формулы
l²=r²+h² — связь образующей, радиуса и высоты прямого конуса
d²=a²+b²+c² — диагональ прямоугольного параллелепипеда
Логика урока
В пространстве две прямые могут пересекаться, быть параллельными или скрещивающимися; прямая и плоскость — пересекаться, быть параллельными или иметь прямую внутри плоскости.
Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая не лежит в плоскости и параллельна прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости.
Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой, то плоскости параллельны.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости: перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости в общей точке достаточна для перпендикулярности плоскости.
Теорема о трёх перпендикулярах связывает наклонную и её проекцию: прямая плоскости через основание наклонной перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна её проекции.
Перпендикуляр к плоскости задаёт расстояние от точки; угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её ортогональной проекцией.
Двугранный угол измеряется линейным углом, построенным в плоскости, перпендикулярной его ребру; угол скрещивающихся прямых находят по пересекающимся параллельным представителям.
Объёмы прямой призмы и цилиндра равны Sоснh, пирамиды и конуса — Sоснh/3.
Для прямоугольного параллелепипеда V=abc, полная площадь равна 2(ab+bc+ca), пространственная диагональ удовлетворяет d²=a²+b²+c².