Подобие переводит труднодоступные длины в пропорции между измеряемыми отрезками. Оно используется в прямоугольном треугольнике, построениях, измерении высоты и определении расстояния до недоступной точки.
Высота к гипотенузе
Треугольники ABC и ACD подобны по двум углам: угол A общий, а углы ACB и ADC прямые. Аналогично
Малые треугольники ACD и CBD также подобны: у них прямые углы при D, а оставшиеся острые углы совпадают с острыми углами исходного треугольника. Итак, высота делит прямоугольный треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен исходному и другому малому.
Обозначим
Тогда c=p+q.
Среднее пропорциональное
Отрезок x называется средним пропорциональным, или средним геометрическим, для u и v, если
поэтому
Высота к гипотенузе — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы.
Из подобия большого треугольника каждому малому:
Иными словами, каждый катет — среднее пропорциональное гипотенузы и прилежащей к нему проекции на гипотенузу:
Сложение равенств для катетов даёт
то есть теорему Пифагора.
Площадь можно выразить через катеты и через гипотенузу с высотой:
Метод подобия в построениях
Если часть данных определяет только форму, сначала строят произвольную фигуру, подобную искомой. Затем оставшийся линейный размер задаёт масштаб.