Вспомним основные понятия
Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные — боковыми сторонами.
Высота трапеции — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на прямую, содержащую другое основание.
Поскольку основания параллельны, углы, прилежащие к одной боковой стороне, являются внутренними односторонними. Поэтому в любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180°:
∠A + ∠B = 180°, ∠C + ∠D = 180°.
Среди всех трапеций выделяют два важных частных вида — равнобокую и прямоугольную. Сегодня мы изучим их свойства и признаки.
Равнобокая трапеция: определение и свойства
Равнобокая (равнобедренная) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.
Из этого определения выводятся все её свойства.
Свойство 1. Углы при каждом основании равны
В равнобокой трапеции ABCD с основаниями AD и BC боковые стороны AB и CD равны. Проведём высоты BH и CK из вершин B и C на основание AD. Прямоугольные треугольники ABH и DCK равны (по катету и гипотенузе: BH = CK как высоты, AB = CD по условию). Значит, ∠A = ∠D — углы при большем основании равны. А поскольку ∠A + ∠B = 180° и ∠D + ∠C = 180°, то и ∠B = ∠C — углы при меньшем основании тоже равны.
Свойство 2. Диагонали равны
Рассмотрим треугольники ABD и DCA. В них сторона AD общая, AB = CD (боковые стороны равны), ∠A = ∠D (доказано выше). Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что BD = AC. В равнобокой трапеции диагонали равны.
Свойство 3. Разбиение большего основания высотами
Если опустить высоты из вершин меньшего основания на большее, то большее основание разбивается на три отрезка: два равных крайних и средний, равный меньшему основанию.