Преобразование плоскости назначает каждой точке единственный образ и охватывает всю плоскость. Движением называют не любое такое правило, а только то, которое сохраняет расстояния, а значит — форму и размеры фигур.
Взаимно однозначное отображение
Преобразование плоскости на себя сопоставляет каждой точке ровно одну точку, и у каждой точки-образа есть единственный прообраз. Постоянное отображение всех точек в одну не подходит: оно не взаимно однозначно.
Неподвижные точки и соответственные фигуры
Точка называется неподвижной, если переходит сама в себя. При осевой симметрии неподвижны все точки оси, при центральной — только центр. Образы всех точек фигуры образуют соответственную фигуру; важно описывать правило для всей плоскости, а не только несколько выбранных вершин.
Определение движения
Движение сохраняет расстояние между любой парой точек. Осевая и центральная симметрии являются примерами. Растяжение с коэффициентом 2 — преобразование, но не движение, потому что удваивает расстояния.
Образ отрезка
Концы M,N переходят в M₁,N₁, и M₁N₁=MN. Для точки P на отрезке выполняется MP+PN=MN; после движения сохраняются обе длины, поэтому образ P₁ лежит между образами концов. Обратно каждая точка нового отрезка имеет прообраз на старом.
Фигуры и углы
Из сохранения отрезков следует, что треугольник переходит в равный треугольник. Сохраняются углы, прямые, окружности, параллельность и перпендикулярность. Движение не обязано сохранять ориентацию: отражение меняет обход фигуры.
Движение и наложение
В школьской аксиоматике наложение — преобразование, которым совмещают равные фигуры. Наложение сохраняет длины и потому является движением. Обратно, образ любого невырожденного треугольника при движении равен исходному; наложение, совмещающее эти три вершины с образами, совпадает с движением на всей плоскости, иначе три неколлинеарные точки оказались бы на одном серединном перпендикуляре.