Итоговая задача начинается с распознавания модели, затем переходят к формуле, вычислению и проверке. Одна и та же бытовая история может требовать разных методов в зависимости от возвращения объектов, зависимости шагов и типа случайной величины.
Смысловая проверка не менее важна, чем арифметика: вероятность лежит в [0;1], сумма распределения равна 1, дисперсия неотрицательна, а единицы результата соответствуют вопросу.
Главные идеи
Классическая вероятность применима к конечным равновозможным исходам; последовательный опыт удобно представлять деревом.
Объединение событий рассчитывают с вычитанием пересечения, а пересечение — через условную вероятность.
Бернуллиевская модель требует независимости, постоянного p и фиксированного n.
Для биномиального числа успехов E(X)=np и D(X)=np(1-p); для геометрического номера первого успеха с отсчётом от 1 E(T)=1/p и D(T)=(1-p)/p².
Ожидание линейно без требования независимости: E(aX+b)=aE(X)+b и E(X+Y)=E(X)+E(Y). Дисперсия масштаба равна D(aX+b)=a²D(X), а дисперсии суммы складываются только при нулевой ковариации, в частности при независимости.
Ожидание описывает вероятностный центр, дисперсия и стандартное отклонение — разброс.
Плотность задаёт вероятности интервалов непрерывной величины, а относительная частота по данным только оценивает вероятность.
Для нормальной величины центральные интервалы μ±σ, μ±2σ и μ±3σ содержат приблизительно 0,6827; 0,9545; 0,9973 вероятности.
При независимых одинаково распределённых повторениях закон больших чисел объясняет стабилизацию относительной частоты около вероятности при росте числа испытаний; конечная частота остаётся случайной оценкой.
Статистические характеристики набора отвечают на разные вопросы: среднее и медиана — о центре, размах и стандартное отклонение — о разбросе.