Пусть в условном опыте правильную монету бросали много раз. После 100 бросков насчитали 48 орлов, после 200 — 104, после 500 — 239, после 1000 — 490. Это накопленные результаты одной учебной серии. Частоты равны 0{,}48, 0{,}52, 0{,}478, 0{,}49. Они находятся около 0{,}5, но расстояние до этого значения уменьшается не на каждом шаге.
Что утверждает закон больших чисел
Для независимых одинаково распределённых случайных величин с конечным математическим ожиданием среднее арифметическое большого числа наблюдений становится близким к этому ожиданию с вероятностью, стремящейся к единице. Одинаковое распределение означает, что вероятностные правила не меняются между наблюдениями.
Смысл записи: вероятность выйти за фиксированную допустимую погрешность становится малой. Закон не обещает точного равенства среднему, монотонного улучшения результата или отсутствия редких неудачных серий при конечном числе опытов.
Частота как среднее
Каждому успеху присвоим 1, каждой неудаче — 0. Тогда сумма этих чисел равна числу успехов, а среднее — их относительной частоте. Математическое ожидание одного такого показателя равно вероятности успеха p. Поэтому в независимых повторениях с одной вероятностью относительная частота приближается к p в смысле закона больших чисел.
Если устройство нагревается и вероятность отказа меняется, исходная модель одинаковых испытаний может оказаться неверной. Если опыты сильно зависят друг от друга, независимость тоже требует проверки. Большое число записей не исправляет неверные предпосылки.