Системы линейных уравнений Готовый урок алгебры для 11 класса

Теория

Система линейных уравнений задаёт несколько равенств, которые должны выполняться одновременно. Каждое уравнение содержит неизвестные только в первой степени, без их произведений и без неизвестных в знаменателях. Решением системы является упорядоченный набор значений всех неизвестных, удовлетворяющий каждому уравнению. Порядок координат решения фиксируется обозначениями переменных.

Для двух неизвестных общий вид уравнения — ax + by = c, где a, b, c — заданные числа. Система может иметь одно решение, бесконечно много решений или не иметь решений. При геометрическом рассмотрении двух уравнений с ненулевыми коэффициентами при неизвестных это соответствует пересечению, совпадению или параллельности соответствующих прямых.

Равносильные преобразования сохраняют множество решений. Уравнения можно переставлять, умножать обе части одного уравнения на ненулевое число, заменять одно уравнение суммой его с другим, умноженным на число. При последнем действии другое уравнение сохраняется. Замена всей системы одним полученным равенством обычно теряет часть условий.

Метод исключения последовательно уменьшает число неизвестных в отдельных уравнениях. Сначала выбирается неизвестное, затем коэффициенты при нём приводятся к удобному виду и складываются или вычитаются уравнения. После нахождения одного неизвестного выполняется обратная подстановка. Важен контроль всех правых частей и знаков.

Первый пример: x + y = 7 и 2x − y = 2. Сложение уравнений даёт 3x = 9, откуда x = 3. Из первого уравнения y = 4. Проверка: 3 + 4 = 7 и 2 · 3 − 4 = 2. Решение записывается как (3; 4) в порядке (x; y). Числа (4; 3) не являются тем же ответом.