Биквадратные уравнения Готовый урок алгебры для 9 класса

От знакомого уравнения — к новому

Квадратные уравнения мы решать умеем. Но в математике часто встречаются уравнения, где неизвестное возведено сразу в четвёртую степень. Рассмотрим, например, уравнение

Ключевое свойство: неизвестное входит только в чётных степенях — четвёртой и второй. Свободный член c можно рассматривать как слагаемое с x⁰. Это наблюдение подсказывает способ решения.

Метод замены переменной

Поскольку x⁴ = (x²)², обозначим x² = t. Тогда x⁴ = t², и уравнение превращается в квадратное:

Решив это вспомогательное квадратное уравнение, найдём значения t₁ и t₂ (или единственное t, или не найдём ни одного). После этого делаем обратную замену: возвращаемся от t к x.

Правило обратной замены простое и строгое:

нулевое t даёт один корень: x = 0;

отрицательное t не даёт ни одного действительного корня.

Сколько корней может быть?

Биквадратное уравнение может иметь четыре, три, два, один или ни одного корня. Разберём каждый случай, опираясь на значения t, которые получаются из вспомогательного уравнения.