Пирамида с тем же основанием и высотой, что и призма, занимает треть объёма призмы. Коэффициент 1/3 не зависит от формы многоугольного основания.
Ключ к обоснованию — подобие сечений, параллельных основанию: линейный масштаб меняется пропорционально расстоянию от вершины, а площадь — квадрату этого масштаба.
Главные идеи
Если тело заключено между плоскостями x=a и x=b, а площадь его сечения перпендикулярной оси плоскостью равна непрерывной функции S(x), объём можно вычислить интегралом площадей сечений.
Объём любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Высота пирамиды — перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания; боковое ребро нельзя подставлять вместо неё без обоснования.
Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, подобно основанию; если расстояние от вершины составляет долю x/h высоты, площадь сечения равна S(x/h)².
Многоугольную пирамиду можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой; сумма площадей их оснований равна площади исходного основания.
Встроенный материал
Три новые пирамиды (числовая карточка). А: правильная четырёхугольная пирамида, сторона основания 8 см, высота 15 см. Б: пирамида с прямоугольным треугольником в основании, катеты 6 см и 10 см, высота 9 см. В: усечённая пирамида, S₁=36 см², S₂=9 см², h=12 см. Обязательное использование: проверить обычный и усечённый случаи на новых данных
Язык модели
метод площадей сечений. вычисление объёма суммированием площадей тонких параллельных слоёв
пирамида. многогранник с многоугольным основанием и треугольными боковыми гранями, сходящимися в одной вершине