Гомотетия
Выберите на плоскости точку O и ненулевое число k. Каждой точке M поставим в соответствие точку M₁, для которой
Такое преобразование называется гомотетией, точка O — её центром, а число k — коэффициентом гомотетии. Центр остаётся на месте.
Знак и модуль коэффициента определяют положение образа:
если k>0, точки M и M₁ лежат на одном луче с началом O;
если k<0, они лежат по разные стороны от O;
расстояние от центра меняется по правилу OM₁=|k|OM.
При |k|>1 фигура растягивается относительно центра, а при 0<|k|<1 сжимается. Если k=1, каждая точка остаётся неподвижной. При k=-1 получается центральная симметрия относительно O.
Фигуру и её образ при гомотетии называют гомотетичными.
Основные свойства
Гомотетия сохраняет направление прямых и величины углов, но обычно изменяет длины.
1. Прямая, проходящая через центр, переходит в себя. Прямая, не проходящая через центр, переходит в параллельную ей прямую.
2. Если A переходит в A₁, а B — в B₁, то отрезок AB переходит в A₁B₁ и
3. Окружность радиуса r с центром C переходит в окружность радиуса |k|r с центром C₁, где C₁ — образ точки C.
4. Луч переходит в луч, полуплоскость — в полуплоскость, а угол — в равный ему угол.