Теория
Если две хорды окружности пересекаются внутри неё, каждая разбивается точкой пересечения на два отрезка. Между длинами этих отрезков существует устойчивое соотношение. Оно позволяет находить неизвестные части хорд без знания радиуса окружности и объясняется подобием треугольников.
Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке M внутри окружности. Тогда AM · MB = CM · MD. Это теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд. В каждом произведении стоят два отрезка одной и той же хорды. Длины AM и MB складываются в полную длину AB, но в формуле перемножаются именно части, а не целая хорда и один её участок.
Для доказательства рассматриваются треугольники AMC и DMB. Углы AMC и DMB вертикальные и равны. Углы MAC и MDB являются вписанными и опираются на одну дугу BC. Следовательно, треугольники подобны по двум углам. Соответствие вершин даёт AM/DM = CM/BM. После умножения на ненулевые длины знаменателей получается AM · BM = CM · DM.
Доказательство показывает, что теорема зависит от положения всех четырёх концов хорд на одной окружности. Для двух произвольных пересекающихся отрезков такое равенство не обязано выполняться. Наличие общей точки само по себе недостаточно. Перед применением формулы проверяется вся геометрическая конфигурация.
Первый пример. Одна хорда разделена на отрезки 3 см и 8 см. Один отрезок другой хорды равен 4 см. Для второго отрезка x получаем 3 · 8 = 4x. Отсюда x = 6 см. Проверка: 24 = 4 · 6. Полная длина второй хорды при этом равна 4 + 6 = 10 см, что отличается от найденной части.
Второй пример. Хорда длиной 12 см пересекает другую хорду, части которой равны 3 см и 12 см. Пусть первая часть исходной хорды равна x, тогда вторая равна 12 − x. Теорема даёт x(12 − x) = 36. После преобразования x² − 12x + 36 = 0, то есть (x − 6)² = 0. Обе части равны 6 см.