В пространстве отсутствие общей точки ещё не означает параллельность: две прямые могут быть скрещивающимися. Сначала нужно установить их компланарность.
Три результата темы работают как единая цепочка: определение параллельности, единственность параллельной через внешнюю точку и перенос параллельности через третью прямую.
Каркас темы
Две различные прямые в пространстве параллельны тогда и только тогда, когда они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной.
Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает эту плоскость.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой; совпадающий случай отдельно оговаривают.
Точные определения
параллельные прямые в пространстве. различные компланарные прямые, не имеющие общих точек
скрещивающиеся прямые. прямые, которые не лежат в одной плоскости
компланарность. принадлежность одной плоскости
транзитивность параллельности. перенос общего направления: прямые, параллельные одной прямой, параллельны друг другу с учётом совпадения
Почему это верно
Через точку вне прямой проходит единственная параллельная ей прямая.
1. Данная прямая и внешняя точка задают единственную плоскость.
2. В этой плоскости евклидова аксиома параллельных даёт существование и единственность искомой прямой.
Если a и b параллельны, а a пересекает плоскость α, то b также пересекает α.