Теория
Взаимное расположение двух окружностей определяется их радиусами и расстоянием между центрами. Обозначим радиусы R и r, причём R ≥ r > 0, а расстояние между центрами — d. Сравнение d с суммой R + r и разностью R − r позволяет установить количество общих точек и расположение окружностей.
Если d > R + r, окружности находятся вне друг друга и не имеют общих точек. Если R − r < d < R + r, они пересекаются в двух точках. Если d < R − r, меньшая окружность находится внутри большей без общих точек. Не следует смешивать окружность как линию с кругом как частью плоскости: вложенные окружности не имеют общих точек, хотя ограниченные ими круги перекрываются.
Если d = 0 и R = r, окружности совпадают, поэтому общих точек бесконечно много. При d = 0 и разных радиусах они концентрические и не пересекаются. Для окружностей с разными центрами условие двух пересечений связано с возможностью построить треугольник со сторонами R, r и d. Его третья вершина является общей точкой окружностей. Две такие вершины находятся по разные стороны линии центров.
Первый пример: R = 5 см, r = 3 см, d = 6 см. Разность радиусов равна 2 см, сумма — 8 см. Так как 2 < 6 < 8, окружности пересекаются в двух точках. Сравнение только с суммой было бы недостаточным: при расстоянии 1 см меньшая окружность оказалась бы внутри большей без пересечения.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с ней одну общую точку. Общая касательная касается каждой из двух окружностей. Радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен этой прямой. Это свойство позволяет связывать расстояние между центрами с взаимным положением касательных.
Общая внешняя касательная располагает центры окружностей по одну сторону от себя. Общая внутренняя — по разные стороны. Названия относятся к расположению центров, а не к тому, нарисована ли прямая сверху или снизу. Поэтому при повороте всей конфигурации тип касательной не меняется.