Теория
Вычисление сторон и углов треугольника опирается на связь между его элементами. Пусть стороны a, b, c лежат напротив углов A, B, C соответственно. Такое соответствие сохраняется во всех формулах. Перед подстановкой чисел важно установить, какие данные известны и какой один элемент требуется найти.
Теорема косинусов связывает три стороны и угол между двумя из них: a² = b² + c² − 2bc cos A. Аналогичные равенства получаются для b и c. Если известны две стороны и заключённый между ними угол, теорема позволяет вычислить третью сторону. Если известны все стороны, из неё можно выразить косинус нужного угла.
Первый пример. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, угол между ними равен 60°. Для противолежащей стороны x получаем x² = 5² + 7² − 2 · 5 · 7 · cos 60°. Так как cos 60° = 1/2, x² = 25 + 49 − 35 = 39. Длина положительна, поэтому x = √39 см, приблизительно 6,24 см.
Проверка включает неравенство треугольника: третья сторона должна быть больше разности данных сторон и меньше их суммы. Здесь 2 < √39 < 12. Эта проверка не доказывает весь расчёт, но помогает выявить невозможный результат. Отрицательный корень уравнения x² = 39 не рассматривается как длина.
Теорема синусов имеет вид a/sin A = b/sin B = c/sin C. Она удобна, когда известна сторона с противолежащим углом и требуется связать их с другой парой. В каждом отношении сторона должна стоять напротив своего угла. Перестановка только одного элемента разрушает соответствие.
Второй пример. Сторона a равна 6 см, угол A равен 30°, угол B — 45°. Требуется сторона b. Из теоремы синусов b = a sin B / sin A. Подстановка даёт b = 6 · (√2/2) : (1/2) = 6√2 см. Сторона b больше a, что согласуется с тем, что угол B больше угла A.