Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т. е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.
Примем AB = c, BC = a, CA = b: сторона с малой буквой лежит напротив угла с соответствующей прописной буквой. Начнём с выбора порядка действий.
По трём сторонам сначала проверяем неравенство треугольника: сумма любых двух сторон больше третьей. Затем находим:
cos A = (b² + c² − a²)/(2bc),
cos B = (a² + c² − b²)/(2ac).
Углы определяем по таблице или функцией arccos калькулятора в режиме градусов. Последний угол:
∠C = 180° − ∠A − ∠B.
Наблюдатель в точке A видит два конца мостика — B и C. До них 3 м и 8 м, а длина мостика 7 м. Под каким углом виден мостик? В треугольнике ABC известны AB = 3 м, AC = 8 м и BC = 7 м:
cos A = (3² + 8² − 7²)/(2 · 3 · 8) = 24/48 = 1/2,
∠A = 60°.
Дробную часть градуса переводят в минуты умножением на 60.
По двум положительным сторонам a, b и углу C между ними, где 0° < C < 180°, сначала вычисляем:
c = √(a² + b² − 2ab cos C).
Затем по приведённой формуле для cos A находим A и получаем
∠B = 180° − ∠A − ∠C.
По стороне a и прилежащим углам B, C действуем иначе:
∠A = 180° − ∠B − ∠C,
b = a sin B / sin A, c = a sin C / sin A.
Здесь a > 0, углы положительны, B + C < 180°.
Если угол лежит напротив одной из двух данных сторон, теорема синусов даёт sin B = b sin A / a. Значение больше 1 означает отсутствие решения. Иначе проверяем оба возможных угла B и 180° − B: подходят лишь те, для которых A + B < 180°. Совпавшие варианты считаем одним решением.