Сложение, вычитание, умножение и деление в системе с основанием q выполняются теми же разрядными идеями, что и в десятичной, но перенос и заём равны q.
До вычисления проверяют допустимость цифр: каждая цифра должна быть меньше основания; в шестнадцатеричной записи A–F обозначают 10–15.
Каркас темы
Позиционное значение записи равно сумме цифр, умноженных на соответствующие степени основания.
При сложении, если сумма цифр и переноса не меньше q, в текущий разряд записывают остаток по модулю q, а частное переносят в следующий разряд.
При вычитании из старшего разряда занимают одну единицу, которая в текущем разряде равна q единицам.
Умножение столбиком использует произведения цифр, переносы по основанию q и сдвиг каждого частичного произведения на разряд.
Проверка через десятичную систему полезна, но не заменяет правильной записи результата в требуемом основании.
В выражении с разными основаниями можно перевести операнды в одно выбранное основание, выполнить операции и при необходимости перевести ответ.
Следующее после записи из одних максимальных цифр число имеет вид 1 и нули; предыдущее перед 100…0 состоит из максимальных цифр.
Двоичное 2ⁿ записывается как единица и n нулей.
Для n>m разность 2ⁿ-2^m имеет n-m единиц, за которыми идут m нулей; это позволяет считать единицы без вычисления большого десятичного числа.
При переводе двоичной записи в восьмеричную её группируют справа по три бита, в шестнадцатеричную — по четыре; слева разрешено дополнять нулями.
Разрядная точка требует отдельных разрядов с отрицательными степенями q; в этом уроке закрытые задачи используют целые числа.