Прямоугольная система координат в пространстве задаётся началом O и тремя попарно перпендикулярными единичными осями Ox, Oy, Oz. Координаты точки и вектора связаны, но это разные объекты.
Вектор AB получают вычитанием координат начала из координат конца. Из этой операции следуют формулы середины и расстояния.
Исследовательская карточка
Точки и векторы (новый набор координат). A(-2;4;1), B(6;-2;5), P(0;-5;0), Q(3;0;-2). Векторы a=(3;-1;2), b=(-2;4;1), c=a+b=(1;3;3), d=(0;1;0), u=(4;-3;2). Обязательное использование: решить прямые и обратные координатные задачи
От наблюдения к системе
Оси Ox, Oy, Oz называются осями абсцисс, ординат и аппликат; пары осей задают координатные плоскости Oxy, Oyz и Ozx.
Принадлежность координатной плоскости определяется одной нулевой координатой, а принадлежность оси — двумя нулевыми координатами.
Координаты вектора равны коэффициентам его разложения по единичным векторам координатных осей.
Координаты нулевого вектора равны (0;0;0), а равные векторы имеют попарно равные координаты.
При сложении векторов их соответствующие координаты складывают, при умножении на число — умножают каждую координату.
Разность векторов находят вычитанием соответствующих координат; противоположный вектор имеет координаты с обратными знаками.
Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда координаты одного получаются умножением всех координат другого на одно число.
Три вектора компланарны, если один из них выражается линейной комбинацией двух других; нулевой вектор компланарен с любой парой.
Координаты точки M совпадают с координатами её радиус-вектора OM.
Если A(x₁,y₁,z₁) и B(x₂,y₂,z₂), то AB=(x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁).
Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат концов.
Длина вектора и расстояние между точками вычисляются по пространственной теореме Пифагора.