Признаки и свойства равнобедренного треугольника Готовый урок геометрии для 7 класса

В сложной задаче полезно разделять данные, промежуточные выводы и цель. Равные боковые стороны дают свойства; равные углы или особое положение медианы помогают доказать равнобедренность. Внешняя симметрия чертежа служит подсказкой, но не аргументом.

Опорные утверждения

Если PQ=PR, основание равнобедренного треугольника — QR, а углы при Q и R равны. Биссектриса из P к основанию одновременно является медианой и высотой. Поэтому медиана и высота из этой же вершины совпадают с ней. Эти утверждения относятся к линии из вершины между равными сторонами, а не к любой линии внутри треугольника.

Короткое обоснование объединяет все свойства. Биссектриса делит треугольник на два равных по двум сторонам и включённому углу. Из их равенства получаются равные углы при основании, равные половины основания и равные смежные углы у точки пересечения с основанием. Последние являются прямыми.

Обратный признак: два равных угла треугольника лежат напротив равных сторон. Если медиана одновременно перпендикулярна стороне, это тоже признак равнобедренности. Для него достаточно сравнить два треугольника: половины стороны равны, медиана общая, включённые углы прямые.

У равностороннего треугольника все стороны равны, поэтому любую из них можно считать основанием. Его углы равны друг другу, а медиана, высота и биссектриса из каждой вершины совпадают.

Две точки на основании

Пусть PQ=PR. Внутри основания QR выбраны различные точки M и N так, что QM=RN. Докажем PM=PN.