От равенства к пропорции
Представьте тетрадь в линейку. Горизонтальные линии параллельны — это дано самой конструкцией тетради. Теперь проведите карандашом две наклонные линии, пересекающие эти горизонтали. Каждая наклонная линия — это секущая: прямая, которая пересекает другие прямые в разных точках.
Если расстояния между соседними горизонтальными линиями одинаковы, то на обеих наклонных линиях точки пересечения будут делить их на равные части. Это наблюдение, известное ещё древнегреческому математику Фалесу Милетскому, лежит в основе важнейшей геометрической теоремы.
Теорема Фалеса
Теорема Фалеса. Параллельные прямые, которые отсекают равные отрезки на одной секущей, отсекают равные отрезки и на любой другой секущей.
Рассмотрим угол с вершиной O. На одной стороне угла отмечены точки A и B, на другой — точки C и D. Через точки A и B проведены параллельные прямые, пересекающие вторую сторону в точках C и D.
Если OA = AB, то OC = CD.
Важно понимать: отрезки, отсекаемые на второй стороне угла, равны между собой, но не обязательно равны отрезкам на первой стороне. На одной стороне отрезки могут быть по 3 см, а на другой — по 5 см. Равенство сохраняется внутри каждой стороны, а не между сторонами.
Как это доказывается? Через точку C на второй стороне угла проводят прямую, параллельную первой стороне угла. Эта прямая образует параллелограмм с одной из параллельных прямых и два треугольника. Эти треугольники оказываются равными (по стороне и прилежащим углам), а параллелограмм даёт равные противоположные стороны. Из равенства треугольников и следует равенство отрезков на второй стороне.