В комбинированной фигуре сначала фиксируют отношение: какое тело вписано, какое описано и где находятся точки или линии касания. После этого пространственную задачу часто сводят к осевому или диагональному сечению.
Нельзя считать, что любой многогранник имеет вписанную или описанную сферу: требуемые равенства расстояний до граней или вершин должны выполняться.
Логика урока
Сфера вписана в многогранник, если касается каждой его грани; её центр равноудалён от плоскостей всех граней.
Сфера описана около многогранника, если все вершины многогранника лежат на сфере; центр равноудалён от всех вершин.
Призма вписана в прямой круговой цилиндр, если её основания вписаны в круги оснований цилиндра, а боковые рёбра идут по образующим; высоты тел совпадают.
Пирамида, вписанная в конус с общей вершиной и осью, имеет основание, вписанное в круг основания конуса; в осевом сечении ключевые отношения переходят в плоские треугольники.
Сфера, вписанная в прямой круговой цилиндр, касается обоих оснований и боковой поверхности, поэтому высота цилиндра равна 2R, а радиус основания равен R.
Сфера, вписанная в прямой круговой конус, в осевом сечении даёт окружность, вписанную в равнобедренный треугольник; радиус находят как площадь треугольника, делённую на полупериметр.
Цилиндр, вписанный в сферу, в осевом сечении даёт прямоугольник, вписанный в окружность; радиус сферы равен половине диагонали прямоугольника.
Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник; эти сечения сохраняют ключевые радиусы и высоты.
Если сфера вписана в правильную призму, её центр лежит в середине отрезка между центрами оснований; для правильной пирамиды центр вписанной сферы лежит на высоте.