Геометрическое место точек, или ГМТ, — множество всех точек, обладающих заданным свойством.
Чтобы доказать, что фигура является ГМТ, недостаточно проверить несколько выбранных точек. Нужны два взаимно обратных утверждения:
1. каждая точка предложенной фигуры обладает заданным свойством;
2. каждая точка, обладающая заданным свойством, принадлежит предложенной фигуре.
Первое условие исключает лишние точки, второе — потерянные.
Окружность
Множество точек, находящихся на расстоянии r>0 от точки O, — окружность с центром O и радиусом r.
Каждая точка окружности удалена от O на r по определению.
Если OX=r, то точка X лежит на этой окружности.
Обе части сразу следуют из определения окружности.
Серединный перпендикуляр
ГМТ, равноудалённых от двух различных точек A и B, — серединный перпендикуляр к AB.
Пусть M лежит на серединном перпендикуляре, а H — середина AB. Прямоугольные треугольники MHA и MHB имеют общий катет MH и равные катеты HA=HB, поэтому равны. Значит, MA=MB.
Биссектриса угла
Расстояние от точки до стороны угла измеряют по перпендикуляру к прямой, содержащей сторону. ГМТ внутри угла, равноудалённых от его сторон, — биссектриса этого угла.