Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы Готовый урок алгебры для 11 класса

Функция возрастает на промежутке, если большему аргументу соответствует большее значение: из x₁<x₂ следует f(x₁)<f(x₂). Для убывания второе неравенство меняется на противоположное. Возрастание и убывание называют видами монотонности. Утверждение относится ко всему промежутку, а не к одной выбранной паре точек.

Признаки монотонности

Если на интервале всюду f'(x)>0, функция на нём строго возрастает. Если всюду f'(x)<0, она строго убывает. Для доказательства первого утверждения возьмём любые x₁<x₂ внутри интервала. Теорема Лагранжа даёт f(x₂)-f(x₁)=f'(c)(x₂-x₁)>0. При отрицательной производной эта разность отрицательна, что доказывает убывание.

Если функция дополнительно непрерывна в конечных концах промежутка, их можно включить в промежуток монотонности. Неотрицательная производная гарантирует неубывание, неположительная — невозрастание. Строго возрастающая функция может иметь отдельные точки с нулевой производной: например, у x³ производная обращается в ноль при x=0. Поэтому условие f'>0 достаточно для строгого возрастания, но не необходимо в каждой отдельной точке.